Построить график функции y = 4x²+x-3 онлайн . Таблица точек . Нули функции .

График функции y = 4x²+x-3 (4 умножить на x во 2-ой степени (в квадрате) плюс x минус 3)

График построен по уравнению, но можно воспользоваться таблицей точек, чтобы построить такой же график по точкам .

Чтобы скачать график, нажмите на кнопку ‘Скачать график’ под ним .

Построение графика функции y = 4x²+x-3 по шагам

4x²+x-3 = 0 — это квадратная функция. Коэффициенты a, b, c нашей квадратной функции равны:

• a = 4
• b = 1
• c = -3

Ее график — симметричная парабола. Найдем направление ветвей нашей параболы.

Направление ветвей параболы

Если коэффициент a положительный, то ветви направлены вверх, если отрицательный — вниз.

У нас коэффициент a — положительный, значит ветви нашей параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы

\[x_{0}=\frac{-b}{2*a}=\frac{-1}{2*4}=-0.13\]

Для того, чтобы найти y, подставим наш найденный x в уравнение:

\[y_{0}=a*x^{2}+b*x+c = 4*(-0.13)^{2}+1*(-0.13)-3 = -3.06\]

Координаты вершины нашей нашей параболы [x₀, y₀] = [-0.13, -3.06].

Решение уравнения 4x²+x-3 = 0 . Поиск нулей функции.

Найдем точки пересечения с осью x. Для этого y должен равняться 0. То есть решим уравнение: 4x²+x-3 = 0

4x²+x-3 = 0 — это квадратное уравнение, найдем его дискриминант:

\[D=b^{2}-4ac=1^{2}-4*4*(-3)=49\]

Так как дискриминант больше нуля, то у данного уравнения два корня, найдем их:

\[x_{1}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2*a}=\frac{-1+\sqrt{49}}{2*4}=0.75\]\[x_{2}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2*a}=\frac{-1-\sqrt{49}}{2*4}=-1\]

Подставим значения x₁ и x₂ в наше уравнение:

\[y_{1}=a*x_{1}^{2}+b*x_{1}+c = 4*0.75^{2}+1*0.75-3 = 0\]\[y_{2}=a*x_{2}^{2}+b*x_{2}+c = 4*(-1)^{2}+1*(-1)-3 = 0\]

То есть график функции пересекается с осью x в точках 0.75 и -1 . Наши точки :

• [x₁, y₁] = [0.75, 0]
• [x₂, y₂] = [-1, 0]

Перечеяение с осью y

Найдем точку пересечения с осью y. Она будет одна, при x₃ = 0:

\[y_{3}=a*x_{3}^{2}+b*x_{3}+c = 4*0^{2}+1*0-3 = -3\]

Наша точка пересеченя графика с осью y — [x₃, y₃] = [0, -3].

Построение графика квадратной функции

1. Для построения графика нужно провести вспомогательную линию (можно пунктиром) из точки вершины параболы [-0.13, -3.06] параллельно оси y. Относительно этой линии парабола будет идти симметрично. Левая и правая часть графика относительно этой линии называется ветви параболы.
2. Для построения симметричной параболы нужно минимум три точки — вершина параболы и еще две. Эти две точки мы возьмем из нашего квадратного уравнения. И того у нас есть четыре точки [x, y] для построения нашего графика:
   • [-0.13, -3.06]
   • [0.75, 0]
   • [-1, 0]
   • [0, -3]

   Для большей точности можно взять еще несколько из таблицы точек. Чтобы высчитать их нужно взять значение x из таблицы и подставить в функцию y = 4x²+x-3. Калькулятор это сделал за Вас.

3. Строим наш график по найденным точкам симметрично вспомогательной линии.

Свойства функции y = 4x²+x-3

• Область определения \(x \in (- \infty;+ \infty)\) — все действительные числа.
• Область значений \(y \in [-3.06;+ \infty)\) — все действительные числа больше или равные -3.06.
• Функция убывает при \(x \lt -0.13\), функция возрастает при \(x \gt -0.13\).
• Наименьшее значение функции y = -3.06 — в вершине параболы при x = -0.13.

Инструменты для написания уравнений

Для написания математических выражений доступно следующее:

Функции

Показать/скрыть функции
• abs — модуль числа
• acos (arccos) — арккосинус
• acosh — гиперболический арккосинус
• arcctg (arccot, arccotan) — арккотангенс
• arcsec — арксеканс
• arccsc (arccosec) — арккосеканс
• asin (arcsin) — арксинус
• atan (atn, arctan, arctg) — арктангенс
• atan2 — арктангенс двух переменных (т.е. atan2(a, b))
• atanh — гиперболический арктангенс
• avg — среднее арифметическое набора значений
• bindec — двоичное в десятичное
• ceil — округляет дробь в большую сторону
• cos — косинус
• cosec (csc) — косеканс
• cosh — гиперболический косинус
• ctg (cot, cotan, cotg, ctn)) — котангенс
• decbin — переводит число из десятичной системы счисления в двоичную
• dechex — переводит число из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную
• decoct — переводит число из десятичной системы счисления в восьмеричную
• deg2rad — преобразует значение из градусов в радианы
• exp — вычисляет степень числа e
• expm1 — возвращает exp(number) — 1, рассчитанное таким образом, что результат точен, даже если значение number близко к нулю.
• floor — округляет дробь в меньшую сторону
• fmod — возвращает дробный остаток от деления по модулю
• hexdec — переводит число из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную
• hypot — hypot(x,y) возвращает длину гипотенузы прямоугольного треугольника с длинами сторон x и y или расстояние точки (x, y) до начала координат Эквивалентно sqrt(x*x + y*y)
• if — оператор if (если). if(100 > 99, 30, 0) = если 100 > 99, то 30, иначе 0
• intdiv — целочисленное деление
• log (ln) — натуральный логарифм
• log10 (lg) — десятичный логарифм
• log1p — возвращает log(1 + number), рассчитанный так, что результат точен, даже если значение number близко к нулю
• max — максимальное из набора значений
• min — минимальное из набора значений
• octdec — переводит число из восьмеричной системы счисления в десятичную
• pi — pi() или pi — выводит число Пи
• pow — Возведение в степень. pow(x,y) = x в степени y = x^y
• rad2deg — преобразует значение из радианов в градусы
• round — округляет число типа float
• sec — секанс
• sin — синус
• sinh — гиперболический синус
• sqrt — квадратный корень
• tan (tn, tg) — тангенс
• tanh — гиперболический тангенс

Операторы

+ — * / ^

^ — возведение в степень

x^(1/n) — корень n-ой степени от числа x. То есть 8^(1/3) = ³√8 = 2

Логические операторы

• == — равно
• != — не равно
• < — меньше
• > — больше
• >= — больше либо равно
• <= — меньше либо равно
• && — И
• || — Или

Константы

• pi = 3.14159265359
• e = 2.71828182846

Основной калькулятор для построение графиков