График функции y = x²+4x-4 (x во 2-ой степени (в квадрате) плюс 4 умножить на x минус 4)
Интервалы задаются через точку с запятой (; ). При задании интервалов и шага можно использовать математические выражения (прим. -4pi; (5/6)pi) или слово "авто" или оставить поля пустыми (эквивалентно "авто")
Округление:
* - обязательно заполнить
Таблица точек функции f(x) = x^2+4x-4
Показать/скрыть таблицу точек
x | f(x) |
---|---|
-10 | 56 |
-9.5 | 48.25 |
-9 | 41 |
-8.5 | 34.25 |
-8 | 28 |
-7.5 | 22.25 |
-7 | 17 |
-6.5 | 12.25 |
-6 | 8 |
-5.5 | 4.25 |
-5 | 1 |
-4.5 | -1.75 |
-4 | -4 |
-3.5 | -5.75 |
-3 | -7 |
-2.5 | -7.75 |
-2 | -8 |
-1.5 | -7.75 |
-1 | -7 |
-0.5 | -5.75 |
0 | -4 |
0.5 | -1.75 |
1 | 1 |
1.5 | 4.25 |
2 | 8 |
2.5 | 12.25 |
3 | 17 |
3.5 | 22.25 |
4 | 28 |
4.5 | 34.25 |
5 | 41 |
5.5 | 48.25 |
6 | 56 |
6.5 | 64.25 |
7 | 73 |
7.5 | 82.25 |
8 | 92 |
8.5 | 102.25 |
9 | 113 |
9.5 | 124.25 |
10 | 136 |
График построен по уравнению, но можно воспользоваться таблицей точек, чтобы построить такой же график по точкам .
Чтобы скачать график, нажмите на кнопку ‘Скачать график’ под ним .
Построение графика функции y = x²+4x-4 по шагам
x²+4x-4 = 0 — это квадратная функция. Коэффициенты a, b, c нашей квадратной функции равны:
- a = 1
- b = 4
- c = -4
Ее график — симметричная парабола. Найдем направление ветвей нашей параболы.
Направление ветвей параболы
Если коэффициент a положительный, то ветви направлены вверх, если отрицательный — вниз.
У нас коэффициент a — положительный, значит ветви нашей параболы направлены вверх.
Найдем координаты вершины параболы
\[x_{0}=\frac{-b}{2*a}=\frac{-4}{2*1}=-2\]
Для того, чтобы найти y, подставим наш найденный x в уравнение:
\[y_{0}=a*x^{2}+b*x+c = 1*(-2)^{2}+4*(-2)-4 = -8\]
Координаты вершины нашей нашей параболы [x0, y0] = [-2, -8].
Решение уравнения x²+4x-4 = 0 . Поиск нулей функции.
Найдем точки пересечения с осью x. Для этого y должен равняться 0. То есть решим уравнение: x²+4x-4 = 0
x²+4x-4 = 0 — это квадратное уравнение, найдем его дискриминант:
\[D=b^{2}-4ac=4^{2}-4*1*(-4)=32\]
Так как дискриминант больше нуля, то у данного уравнения два корня, найдем их:
\[x_{1}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2*a}=\frac{-4+\sqrt{32}}{2*1}=0.83\]\[x_{2}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2*a}=\frac{-4-\sqrt{32}}{2*1}=-4.83\]
Подставим значения x1 и x2 в наше уравнение:
\[y_{1}=a*x_{1}^{2}+b*x_{1}+c = 1*0.83^{2}+4*0.83-4 = 0.01\]\[y_{2}=a*x_{2}^{2}+b*x_{2}+c = 1*(-4.83)^{2}+4*(-4.83)-4 = 0.01\]
То есть график функции пересекается с осью x в точках 0.83 и -4.83 . Наши точки :
- [x1, y1] = [0.83, 0.01]
- [x2, y2] = [-4.83, 0.01]
Перечеяение с осью y
Найдем точку пересечения с осью y. Она будет одна, при x3 = 0:
\[y_{3}=a*x_{3}^{2}+b*x_{3}+c = 1*0^{2}+4*0-4 = -4\]
Наша точка пересеченя графика с осью y — [x3, y3] = [0, -4].
Построение графика квадратной функции
- Для построения графика нужно провести вспомогательную линию (можно пунктиром) из точки вершины параболы [-2, -8] параллельно оси y. Относительно этой линии парабола будет идти симметрично. Левая и правая часть графика относительно этой линии называется ветви параболы.
- Для построения симметричной параболы нужно минимум три точки — вершина параболы и еще две. Эти две точки мы возьмем из нашего квадратного уравнения. И того у нас есть четыре точки [x, y] для построения нашего графика:
- [-2, -8]
- [0.83, 0.01]
- [-4.83, 0.01]
- [0, -4]
Для большей точности можно взять еще несколько из таблицы точек. Чтобы высчитать их нужно взять значение x из таблицы и подставить в функцию y = x²+4x-4. Калькулятор это сделал за Вас.
- Строим наш график по найденным точкам симметрично вспомогательной линии.
Свойства функции y = x²+4x-4
- Область определения \(x \in (- \infty;+ \infty)\) — все действительные числа.
- Область значений \(y \in [-8;+ \infty)\) — все действительные числа больше или равные -8.
- Функция убывает при \(x \lt -2\), функция возрастает при \(x \gt -2\).
- Наименьшее значение функции y = -8 — в вершине параболы при x = -2.
- abs — модуль числа
- acos (arccos) — арккосинус
- acosh — гиперболический арккосинус
- arcctg (arccot, arccotan) — арккотангенс
- arcsec — арксеканс
- arccsc (arccosec) — арккосеканс
- asin (arcsin) — арксинус
- atan (atn, arctan, arctg) — арктангенс
- atan2 — арктангенс двух переменных (т.е. atan2(a, b))
- atanh — гиперболический арктангенс
- avg — среднее арифметическое набора значений
- bindec — двоичное в десятичное
- ceil — округляет дробь в большую сторону
- cos — косинус
- cosec (csc) — косеканс
- cosh — гиперболический косинус
- ctg (cot, cotan, cotg, ctn)) — котангенс
- decbin — переводит число из десятичной системы счисления в двоичную
- dechex — переводит число из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную
- decoct — переводит число из десятичной системы счисления в восьмеричную
- deg2rad — преобразует значение из градусов в радианы
- exp — вычисляет степень числа e
- expm1 — возвращает exp(number) — 1, рассчитанное таким образом, что результат точен, даже если значение number близко к нулю.
- floor — округляет дробь в меньшую сторону
- fmod — возвращает дробный остаток от деления по модулю
- hexdec — переводит число из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную
- hypot — hypot(x,y) возвращает длину гипотенузы прямоугольного треугольника с длинами сторон x и y или расстояние точки (x, y) до начала координат Эквивалентно sqrt(x*x + y*y)
- if — оператор if (если). if(100 > 99, 30, 0) = если 100 > 99, то 30, иначе 0
- intdiv — целочисленное деление
- log (ln) — натуральный логарифм
- log10 (lg) — десятичный логарифм
- log1p — возвращает log(1 + number), рассчитанный так, что результат точен, даже если значение number близко к нулю
- max — максимальное из набора значений
- min — минимальное из набора значений
- octdec — переводит число из восьмеричной системы счисления в десятичную
- pi — pi() или pi — выводит число Пи
- pow — Возведение в степень. pow(x,y) = x в степени y = x^y
- rad2deg — преобразует значение из радианов в градусы
- round — округляет число типа float
- sec — секанс
- sin — синус
- sinh — гиперболический синус
- sqrt — квадратный корень
- tan (tn, tg) — тангенс
- tanh — гиперболический тангенс
- == — равно
- != — не равно
- < — меньше
- > — больше
- >= — больше либо равно
- <= — меньше либо равно
- && — И
- || — Или
- pi = 3.14159265359
- e = 2.71828182846
Инструменты для написания уравнений
Для написания математических выражений доступно следующее:
Функции
Показать/скрыть функции
Операторы
+ — * / ^
^ — возведение в степень
x^(1/n) — корень n-ой степени от числа x. То есть 8^(1/3) = 3√8 = 2